Question

已知數(shù)列{a_n}　的通項(xiàng)a_n=n，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個(gè)2（如在a₁與a₂之間插入3⁰個(gè)2，a₂與a₃之間插入3¹個(gè)2，a₃與a₄之間插入3²個(gè)2，…，依此類推），得到一個(gè)新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，則S₁₂₀=________．

Answer 1

245
分析：先計(jì)算d₁₂₀在數(shù)列{a_n}中處于哪個(gè)位置，辦法是設(shè)其處于k和k+1之間，則求出1+3+3²+3³+3^k-1+（k+1）≥120時(shí)的k的最小值，再進(jìn)一步容易得到d₁₂₀的準(zhǔn)確位置，再求和就容易了
解答：依題意，設(shè)d₁₂₀在數(shù)列{a_n}中處于a_k與a_k+1之間，即處于k和k+1之間，
由1+3+3²+3³+3^k-1+（k+1）≥120 得 k≥5
k=5時(shí)，數(shù)列{d_n}共有127項(xiàng)
∴d₁₂₀在數(shù)列中處于5與6之間的第3^5-1-6=75個(gè)2處
∴S₁₂₀=1+2+3+4+5+2×（1+3+3²+3³+75）=245
故答案為245
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差等比數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，特別注重觀察數(shù)列的規(guī)律，考查了歸納推理能力．