已知關(guān)于x的不等式|x-2|+|x-a|≥2a.?
(I)若a=1,求不等式的解集;?
(II)若不等式的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍.?
解:(I)若a=1,不等式即|x-2|+|x-1|≥2,而|x-2|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離加上x對應(yīng)點到2對應(yīng)點的距離,
而
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對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離加上到2對應(yīng)點的距離正好等于2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離加上到2對應(yīng)點的距離也正好等于2,
故不等式的解集為{x|x≤
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,或 x≥
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}.(5分)
(II)若不等式的解集為R,則 2a小于或等于|x-2|+|x-a|的最小值,由上可得|x-2|+|x-1|的最小值為|a-2|,
∴|a-2|≥2a,∴a-2≥2a,或 a-2≤-2a.
解得 a≤-2,或 a≤
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.
∴實數(shù)a的取值范圍為(-∞,
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]. (10分)
分析:(I)若a=1,不等式即|x-2|+|x-1|≥2,由絕對值的意義可得而
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對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離加上到2對應(yīng)點的距離正好等于2,
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對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離加上到2對應(yīng)點的距離也正好等于2,由此求得不等式的解集.
(II)若不等式的解集為R,則 2a小于或等于|x-2|+|x-a|的最小值.而由絕對值的意義可得|x-2|+|x-1|的最小值為|a-2|,故有|a-2|≥2a,由此求得實數(shù)a的取值范圍.
點評:本題主要考查絕對值的意義,絕對值不等式的解法,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.