在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點(diǎn)都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點(diǎn)．若該三角形的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為    ．
【答案】分析：設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，（k≠0）．將直線AB方程與橢圓消去y，解得B的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)之間距離公式，可以算出AB長關(guān)于a、k的表達(dá)式，同理可得AC長關(guān)于a、k的表達(dá)式，從而得到Rt△ABC的面積S關(guān)于a、k的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式進(jìn)行討論，可得△ABC的面積S的最大值為，最后結(jié)合題意解關(guān)于a的方程，即可得到實(shí)數(shù)a的值．
解答：解：設(shè)直線AB的方程為y=kx+1則直線AC的方程可設(shè)為y=-x+1，（k≠0）
由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0，所以x=0或x=
∵A的坐標(biāo)（0，1），
∴B的坐標(biāo)為（，k•+1），即B（，）
因此，AB==•，
同理可得：AC=•
∴Rt△ABC的面積為S=AB•AC=•=
令t=，得S==
∵t=≥2，∴S△ABC≤=
當(dāng)且僅當(dāng)，即t=時，△ABC的面積S有最大值為=
解之得a=3或a=
∵a=時，t=＜2不符合題意，
∴a=3
故答案為：3
點(diǎn)評：本題在橢圓上求內(nèi)接直角三角形面積的最大值問題，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)和利用基本不等式討論函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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