Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，從圓C外一點p向圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：如圖所示，⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心C，半徑r．設(shè)P（x，y）．由切線的性質(zhì)可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y-12=0，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：如圖所示
⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0化為（x+1）²+（y-2）²=2，
圓心C（-1，2），半徑r=

2

．
設(shè)P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CM⊥PM，
∴|PM|=

|PC|2-r2

=

(x+1)2+(y-2)2-2

．
∵|PM|=|PO|，
∴

x2+y2

=

(x+1)2+(y-2)2-2

．
化為2x-4y+3=0．
∴|PM|²=x²+y²=x²+（

2x+3

4

）²
=

5

4

(x+

3

10

)2+

9

16

-

9

80

=

5

4

(x+

3

10

)2+

9

20

，
當(dāng)x=-

3

10

時，|PM|²取得最小值

9

20

，
即|PM|取得最小值

3 5

10

．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．