Question

（2009•奉賢區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
（I）求f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間
（II）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的周期以及單調(diào)性的求法即可得到結(jié)論；
（II）先根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域，再把方程有解轉(zhuǎn)化為f（x）與m+2的取值范圍相同即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）+1．（1分）
∴周期T=π；（1分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈Z）．（2分）
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，所以2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，
所以f（x）的值域?yàn)閇2，3]，（4分）
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)中恒等變換應(yīng)用以及整體代入思想的應(yīng)用．在求三角函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般都用整體代入思想，比如本題中令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

．