在
R上定義運算
(
b、
c為實常數(shù))。記
,
,
。令
。
(Ⅰ)如果函數(shù)
在
處有極值
,試確定
b、
c的值;
(Ⅱ)求曲線
上斜率為
c的切線與該曲線的公共點;
(Ⅲ)記
的最大值為
,若
對任意的
b、
c恒成立,試示
的最大值。
由
R上運算
的定義及函數(shù)
的表達式,
可得
∴
。
(Ⅰ)∵函數(shù)
在
處有極值
,∴
,
得
,
從而解得
,
或
,
但當
,
時,
,
恒成立,
從而當
,
時,
單調(diào)遞減,故
不是極值點而是拐點。
所以
,
要舍去。
當
,
時,則
。當
變化時,
、
的變化情況如下表:
∴當
x=1時,
在有極大值
。因此
,
。
(Ⅱ)設
x0是曲線
上的斜率為
c的切線與曲線的切點,則
,得
x0=0或
x0=2
b,當
x0=0時
;
當
x0=2
b時
,故切線的方程為
或
,聯(lián)立
得
或
聯(lián)立
得
,
,
解得
或
綜上所述,曲線
上斜率為c的切線與該曲線的公共點為
,
或
,
。
(Ⅲ)記
,
(
),
(
),
的對稱軸為
(1)當
時,
,對稱軸:
x=
b在區(qū)間
外面,從而
在
上的最大值在區(qū)間端點處取得。
記
g(1),
g(-1)中的最大者為
,則
,
所以
,而
,故當
時
M>2。
(2)當
時,
,區(qū)間
跨越對稱軸:
x=
b,
從而此時
,
因為
,所以
,
。
①當
時,
,所以
,因此
②當
時,
,所以
,因此
綜上所述,對
,都有
成立。
故
對任意的
b、
c恒成立的
的最大值為
。
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知
在區(qū)間
上的反函數(shù)是其本身,則
可以是( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖所示為二次函數(shù)f(x)的圖象,若函數(shù)g(x)="f’" (x)f(x),(f’(x)是f(x)的導函數(shù)),則g(x)的圖象是( )
A. B. C. D.
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題型:單選題
如果函數(shù)
的圖像如圖2所示,那么導函數(shù)
的圖像可能是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設
是定義在
上的奇函數(shù),且當
時,
.
(Ⅰ) 求
時,
的表達式;
(Ⅱ) 令
,問是否存在
,使得
在x = x
0處的切線互相平行?若存在,請求出
值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知f(x)在x=a處可導,且f′(a)=b,求下列極限:
。1)
; (2)
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知定義在R上的函數(shù)
y=
f (
x)在
x=2處的切線方程是
y=-
x+6,則
的值是 ( )
A. | B.2 | C.3 | D.0 |
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