Question

在R上定義運(yùn)算（b、c為實(shí)常數(shù)）。記，，。令。
（Ⅰ）如果函數(shù)在處有極值，試確定b、c的值；
（Ⅱ）求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；
（Ⅲ）記的最大值為，若對(duì)任意的b、c恒成立，試示的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ），或，
（Ⅲ）

由R上運(yùn)算的定義及函數(shù)的表達(dá)式，
可得∴。
（Ⅰ）∵函數(shù)在處有極值，∴，
得，
從而解得，或，
但當(dāng)，時(shí)，
，恒成立，
從而當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，故不是極值點(diǎn)而是拐點(diǎn)。
所以，要舍去。
當(dāng)，時(shí)，則。當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：

				1
	﹣		﹢		﹣
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當(dāng)x=1時(shí)，在有極大值。因此，。
（Ⅱ）設(shè)x₀是曲線上的斜率為c的切線與曲線的切點(diǎn)，則
，得x₀=0或x₀=2b，當(dāng)x₀=0時(shí)；
當(dāng)x₀=2b時(shí)，故切線的方程為
或，聯(lián)立
得或
聯(lián)立得，，
解得或
綜上所述，曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)為，
或，。
（Ⅲ）記，（），
（），
的對(duì)稱軸為
（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸：x=b在區(qū)間外面，從而在
上的最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得。
記g（1），g（-1）中的最大者為，則，
所以，而，故當(dāng)
時(shí)M＞2。
（2）當(dāng)時(shí)，，區(qū)間跨越對(duì)稱軸：x=b，
從而此時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133647010601.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，
。
①當(dāng)時(shí)，，所以，因此


②當(dāng)時(shí)，，所以，因此

綜上所述，對(duì)，都有成立。
故對(duì)任意的b、c恒成立的的最大值為。