如圖,一個半圓和長方形組成的鐵皮,長方形的邊AD為半圓的直徑,O為半圓的圓心,AB=1,BC=2,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形PMN,其底邊MN⊥BC.
(1)設(shè)∠MOD=30°,求三角形鐵皮PMN的面積;
(2)求剪下的鐵皮三角形PMN面積的最大值.
分析:(1)設(shè)MN交AD交于Q點由∠MOD=30°,利用銳角三角函數(shù)可求MQ,OQ,進而可求MN,AQ,代入S△PMN=
1
2
MN•AQ可求
(2)設(shè)∠MOQ=θ,由θ∈[0,
π
2
],結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可求MQ=sinθ,OQ=cosθ,代入三角形的面積公式S△PMN=
1
2
MN•AQ=
1
2
(1+sinθ)(1+cosθ)展開利用換元法,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解
解答:解:(1)設(shè)MN交AD交于Q點
∵∠MOD=30°,
∴MQ=
1
2
,OQ=
3
2
(算出一個得2分)
S△PMN=
1
2
MN•AQ=
1
2
×
3
2
×(1+
3
2
)=
6+3
3
8
…(6分)
(2)設(shè)∠MOQ=θ,∴θ∈[0,
π
2
],MQ=sinθ,OQ=cosθ
∴S△PMN=
1
2
MN•AQ=
1
2
(1+sinθ)(1+cosθ)
=
1
2
(1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)….(11分)
令sinθ+cosθ=t∈[1,
2
],
∴S△PMN=
1
2
(t+1+
t2-1
2

θ=
π
4
,當t=
2

∴S△PMN的最大值為
3+2
2
4
.…..…(14分)
點評:本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用及利用三角函數(shù)求解函數(shù)的最值,換元法的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵
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(2)求剪下的鐵皮三角形PMN面積的最大值.

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