已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F(0，1)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)在拋物線C上是否存在點P，使得過點P的直線交C于另一點Q，滿足PF⊥QF，且PQ與C在點P處的切線垂直．若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　(1)解：設(shè)拋物線C的方程式x2＝ay，則＝1，即a＝4．

　　(2)解：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則拋物線C在點P處的切線方程是：，

　　直線PQ的方程是：．

　　將上式代入拋物線C的方程，得：，

　　故x1＋x2＝，x1x2＝－8－4y1，所以x2＝－x1，y2＝＋y1＋4．

　　而＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，× ＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝－4(2＋y1)＋y1(＋y1＋4)－(＋2y1＋4)＋1＝－2y1－－7＝(＋2y1＋1)－4(＋y1＋2)＝(y1＋1)2－＝＝0，

　　故y1＝4，此時，點P的坐標(biāo)是(±4，4)．經(jīng)檢驗，符合題意．

　　所以，滿足條件的點P存在，其坐標(biāo)為P(±4，4)．(15分)


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）在拋物線C上是否存在點P，使得過點P的直線交C于另一點Q，滿足PF⊥QF，且PQ與C在點P處的切線垂直？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•溫州一模）已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F（0，1），且過點A（2，t），
（I）求t的值；
（II）若點P、Q是拋物線C上兩動點，且直線AP與AQ的斜率互為相反數(shù)，試問直線PQ的斜率是否為定值，若是，求出這個值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F（1，0）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過拋物線C的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則
|AB||FM|
為定值，且定值是2”．判斷它是真命題還是假命題，并說明理；
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于拋物線的一般性命題（注，不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且焦點F（2，0）．
（1）求拋物線C的標(biāo)準方程；
（2）直線l過焦點F與拋物線C相交與M，N兩點，且|MN|=16，求直線l的傾斜角．

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同步練習(xí)冊答案
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