Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，且，使得，求證： .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)導(dǎo)數(shù)值大于零或小于零的不等式的解；（2）根據(jù)題意對(duì)進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)顯然不行， 時(shí)，不能有，設(shè)，則由即可，利用單調(diào)性即可證出.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，

又，由，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)在R上單調(diào)遞增；

由可得，與相矛盾，

所以，且的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

若，則由可得，與相矛盾，

同樣不能有，

不妨設(shè)，則由，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

所以當(dāng)時(shí)， .

由， ，可得，故，

又在上單調(diào)遞減，且，所以，

所以，同理，即，解得，

所以.