Question

橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，短軸長為2，O為坐標原點．
（1）求橢圓W的方程；
（2）設A，B，C是橢圓W上的三個點，判斷四邊形OABC能否為矩形？并說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，短軸長為2，求出c，b，可得a，即可求橢圓W的方程；
（2）設AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由條件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，結合韋達定理，及矩形的性質(zhì)，即可得出結論．

解答： 解：（1）由題意，橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，短軸長為2，
∴2c=4，2b=2，
∴c=2，b=1，
∴a=

b2+c2

=

5

，
∴橢圓W的方程為

x2

5

+y2=1；
（2）設AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），AC的中點M（x₀，y₀），B（x₃，y₃），
直線代入拋物線方程可得（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，
∴△=（10km）²-4（1+5k²）（5m²-5）＞0，
x₁+x₂=-

10km

1+5k2

，x₁x₂=

5m2-5

1+5k2

．（1）
由條件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
將（1）式代入得6m²=5k²+5                                   （2）
又x₀=

x1+x2

2

=-

5km

1+5k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+5k2

且M同時也是OB的中點，∴x₃=2x₀，y₃=2y₀，
∵B在橢圓上，∴x32+5y32=5，
即 4x02+20y02=5，
代入整理可得4m²=5k²+1                            （3）
由（2）（3）解得m²=2，k²=

7

5

，
驗證知△=120＞0，
∴四邊形OABC可以為矩形．

點評：本題考查橢圓方程，探討了以坐標原點O為一個頂點，其它三個頂點在橢圓上的矩形問題，著重考查了矩形的性質(zhì)、橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．