已知函數(shù)f(x)=ex+2x2—3x

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2) 當x ≥1時,若關于x的不等式f(x)≥ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(3)求證函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1)上存在唯一的極值點,并用二分法求函數(shù)取得極值時相應x的近似值(誤差不超過0.2);(參考數(shù)據(jù)e≈2.7,≈1.6,e0.3≈1.3)。

 

(1)(e+1)x-y-2=0

(2)a≤e-1

(3)x≈0.45

【解析】(1)f'(x)=ex+4x-3,則=e+1,

又f(1)=e—1,

∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為

y-e+1=(e+1)(x-1),即:(e+1)x-y-2=0

(2)由f(x)≥ax,得ax≤ex+2 x2-3x,

∵x≥1 ,∴a≤

令g(x)= ,則g’(x)=

∵x≥1 ,∴g’(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),

∴g(x)min=g(1)=e-1,

∴a的取值范圍是a≤e-1,

(3)∵f'(0)=e0-3=-2<0,f'(1)=e+1>0,   ∴f'(0)·f'(1)<0

令h(x)=f'(x)=ex+4x-3,

則h'(x)=ex+4>0,f'(x)在正[0,1]上單調遞增,

∴.f'(x)在[0,1]上存在唯一零點,f(x)在[0,1]上存在唯一的極值點.

取區(qū)間[0,1]作為起始區(qū)間,用二分法逐次計算可知區(qū)間[0.3,0.6]的長度為0.3,所以該區(qū)間的中點x2=0.45,到區(qū)間端點的距離小于0.2,因此可作為誤差不超過0.2一個極值點的相應x的值

∴函數(shù)y=f(x)取得極值時,相應x≈0.45.

 

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A.

B.

C.

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