Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為(t為參數(shù)），P為C₁上的動點(diǎn)，Q為線段OP的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡C₂的方程；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸（兩坐標(biāo)系取相同的長度單位）的極坐標(biāo)系中,N為曲線p=2sinθ上的動點(diǎn),M為C₂與x軸的交點(diǎn)，求｜MN｜的最大值．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化等數(shù)學(xué)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力以及計算能力.第一問，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到P點(diǎn)坐標(biāo)，而P在上，代入到的參數(shù)方程中即可得到的參數(shù)方程；第二問，利用第一問的方程可先求出M點(diǎn)坐標(biāo)，將曲線化為直角坐標(biāo)方程，利用兩點(diǎn)間距離公式再利用數(shù)形結(jié)合即可求出|MN|的最大值.
試題解析：①設(shè)Q(x，y)，則點(diǎn)P(2x，2y)，又P為C₁上的動點(diǎn)，
所以(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))．
所以C₂的方程為(t為參數(shù))(或4x＋3y－4＝0).（4分）
②由①可得點(diǎn)M(1，0)，且曲線ρ＝2sinθ的直角坐標(biāo)方程為x²＋(y－1)²＝1，
所以|MN|的最大值為.（7分）