Question

已知函數(shù)f（x）=[x]+|sin

πx

2

|，x∈[-1，1]．其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，即可求函數(shù)f（x）的值域

解答： 解：（Ⅰ）∵f（-1）=-1+1=0，f（1）=1+1=0，
∴f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），
即函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（Ⅱ）f（x）=[x]+|sin

πx

2

|=

-1-sin πx 2 ，x∈[-1，0) sin πx 2 ，  x∈[0，1) 2 ，  x=1

，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（0）＜f（x）≤f（-1），
即-1＜f（x）≤0，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（0）≤f（x）＜f（1），
即0≤＜f（x）＜1，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=2，
綜上得函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）∪{2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)值域的求解，根據(jù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．