Question

曲線f（x）=cosx（x＞0）上所有最值點按橫坐標(biāo)由小到大的順序排成點列（a_n，f（a_n））（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=3ⁿa_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求sinT₇的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,余弦函數(shù)的圖象

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先根據(jù)最值直接確定解析式，即通項公式．
（2）由（1）的結(jié)論利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求出前n項和，進一步求出三角函數(shù)值．

解答： 解：（1）曲線f（x）=cosx（x＞0）上所有最值點按橫坐標(biāo)由小到大的順序排成點列（a_n，f（a_n））（n∈N^*）．
即令f（a_n）=±1
解得：a_n=nπ
（2）設(shè)bn=3nan
則：bn=n3nπ
T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ）π①
3T_n=（1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹）π②
①-②得：
-2T_n=（（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-n•3ⁿ⁺¹）π
解得：
Tn=

3(1-3n)π

4

+

n3n+1π

2

sinT₇=sin21324π=0

點評：本題考查的知識要點：根據(jù)函數(shù)的最值確定通項公式，利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，三角函數(shù)值的求法．