Question

設(shè)a≥0，函數(shù)f(x)=a

1-x2

+

1+x

-

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設(shè)t=

1+x

-

1-x

，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）求g（a）；
（3）試求滿(mǎn)足g(a)=g(

1

a

)的所有實(shí)數(shù)a．

Answer 1

分析：（1）由已知，t2=2-2

1-x2

∈[0，2]且定義域-1≤x≤1，易求得t的取值范圍，且m(t)=a(1-

1

2

t2)+t=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]
（2）g（a）即為函數(shù)m(t)=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，分類(lèi)討論的方法求解．
（3）將g(a)=g(

1

a

)化為具體方程，須利用分段函數(shù)的知識(shí)，分a，

1

a

的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論．

解答：解：（1）t=

1+x

-

1-x

，
要使有t意義，必須1+x≥0，且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t2=2-2

1-x2

∈[0，2]①
∴t的取值范圍是[-

2

，

2

]．（2分）
由①得

1-x2

=1-

1

2

t2，
∴m(t)=a(1-

1

2

t2)+t=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]．（4分）
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m(t)=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．
注意到直線t=

1

a

是拋物線m(t)=-

1

2

at2+t+a的對(duì)稱(chēng)軸，
分以下幾種情況討論．
1°當(dāng)a＞0時(shí)，
①由0＜

1

a

＜

2

，即a＞

2

2

時(shí)，g(a)=m(

1

a

)=

1

2a

+a．（5分）
②由

1

a

≥

2

，即0＜a≤

2

2

時(shí)，m(t)=-

1

2

at2+t+a
在t∈[-

2

，

2

]單調(diào)遞增，g(a)=m(

2

)=

2

．（6分）
2°當(dāng)a=0時(shí)，m（t）=t，t∈[-

2

，

2

]，
∴g(a)=m(

2

)=

2

．（7分）
綜上有g(shù)（a）=

1 2a +a，a＞ 2 2 2 ，0≤a≤ 2 2

（8分）
（3）分以下幾種情形討論：
情形①：當(dāng)a＞

2

2

，且

1

a

＞

2

2

時(shí)，即

2

2

＜a＜

2

時(shí)，由g(a)=g(

1

a

)，
得

1

2a

+a=

a

2

+

1

a

，解得a=1．（9分）
情形②：當(dāng)a＞

2

2

，且0＜

1

a

≤

2

2

時(shí)，即a≥

2

時(shí)，由g(a)=g(

1

a

)，
得

1

2a

+a=

2

，解得a=

2

2

（舍） （10分）
情形③：當(dāng)0≤a≤

2

2

，且0＜

1

a

≤

2

2

時(shí)，即a∈φ時(shí)，g(a)=g(

1

a

)不成立．
情形④：當(dāng)0≤a≤

2

2

，且

1

a

＞

2

2

時(shí)，即0≤a≤

2

2

時(shí)，由g(a)=g(

1

a

)，
得

a

2

+

1

a

=

2

，解得a=

2

（舍）
綜上有a=1，滿(mǎn)足g(a)=g(

1

a

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查分段函數(shù)值求解，方程求解，滲透了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想．在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)要注意“不重復(fù)、不遺漏”，具體的說(shuō)在（2）中，不要漏掉a=0情形，在（3）中要考慮a，

1

a

分別與0，

2

2

的大小關(guān)系．