在△ABC的AB邊在平面α內(nèi),點C在平面α外,AC和BC與平面α所成的角分別為30°和45°且平面ABC與平面α成600的銳二面角,則sin∠ACB=(  )
分析:從C向平面作垂線CD,連接AD,BD,作CE⊥AB,連接DE,根據(jù)三垂線定理,DE⊥AB,設(shè)CD=h,∠CBD=45°,BC=
2
h,∠CAD=30°,AC=2CD=2h,∠CED是二面角的平面角,∠CED=60°,CE=
2
3
h
3
,由勾股定理求出sinC=1;另一種是∠B是鈍角,CE在三角形ABC之外,AB=AE-BE=
6
h
3
,由余弦定理,求出sinC.
解答:解:從C向平面作垂線CD,連接AD,BD,作CE⊥AB,連接DE,
根據(jù)三垂線定理,DE⊥AB,設(shè)CD=h,∠CBD=45°,BC=
2
h,∠CAD=30°,AC=2CD=2h,
∠CED是二面角的平面角,∠CED=60°,CE=
2
3
h
3

根據(jù)勾股定理,AE=
2
6
3
h
,BE=
6
3
h
,AB=AE+BE=
6
h,
∵(
6
h)2=(
2
h)2+(2h)2,即AB2=BC2+AC2
∴∠C=90°,sinC=1,
另一種是∠B是鈍角,CE在三角形ABC之外,AB=AE-BE=
6
h
3
,
根據(jù)余弦定理,AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC,
6
3
h)2=(2h)2+(
2
h)2-2×2h×
2
hcosC,
cosC=
2
2
3

sinC=
1-cos2C
=
1
3
,
故角ACB的正弦值是1或
1
3

故選D.
點評:本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何的綜合問題,解題時要認真審題,仔細解答,注意勾股定理和余弦定理的靈活運用.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:2013屆江西省高一下學期期中考試數(shù)學試題 題型:選擇題

在△ABC的AB邊在平面α內(nèi),點C在平面α外,AC和BC與平面α所成的角分別為300和450角,且平面ABC與平面α成600的銳二面角,則sin∠ACB=( 。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

在△ABC的AB邊在平面α內(nèi),點C在平面α外,AC和BC與平面α所成的角分別為30°和45°且平面ABC與平面α成600的銳二面角,則sin∠ACB=( 。
A.1B.
2
3
3
C.
3
D.1或
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:江西省期中題 題型:單選題

在△ABC的AB邊在平面α內(nèi),點C在平面α外,AC和BC與平面α所成的角分別為30°和45°且平面ABC與平面α成600的銳二面角,則sin∠ACB=(  )
[     ]

A.1  
B.

C.
D.1或

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABCAB邊在平面α內(nèi),點C在平面α外,ACBC與平面α所成的角分別為300和450角,且平面ABC與平面α成600的銳二面角,則sin∠ACB=( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案