Question

（2012•寶山區(qū)一模）已知橢圓的焦點(diǎn)F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0），過P（0，

1

2

）作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長為

6

，過F₁作直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求△PAB的面積；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t使

PA

+

PB

=t

PF1

，若存在，求t的值和直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)過P（0，

1

2

）作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長為

6

，可得點(diǎn)（

6

2

，

1

2

）在橢圓上，，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）確定過F₁，A作直線l的方程代入橢圓方程，求出A，B的坐標(biāo)，從而可求△PAB的面積；
（3）當(dāng)直線斜率不存在時，可得A，B的坐標(biāo)，從而可得向量PA，PB，PF₁的坐標(biāo)，利用

PA

+

PB

=t

PF1

，即可求得直線l的方程；當(dāng)直線斜率存在時，確定向量PA，PB，PF₁的坐標(biāo)，利用

PA

+

PB

=t

PF1

，即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意點(diǎn)（

6

2

，

1

2

）在橢圓上，a²=b²+1…（2分）
∴

6

4(1+b2)

+

1

b2

=1，∴b²=1，a²=b²+1=2
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）由題意，A是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，∴A（0，-1）
∵F₁（1，0），∴過F₁，A作直線l的方程為y=x-1，…（5分）
代入橢圓方程可得3x²-4x=0
∴x=0或

4

3

∴A（0，-1），B（

4

3

，

1

3

），…（7分）
∵P（0，

1

2

）
∴△PAB的面積為

1

2

|AP|xB=1…（9分）
（3）當(dāng)直線斜率不存在時，可得A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

），
所以

PA

=(1，

2 -1

2

)，

PB

=(1，-

2 +1

2

)，

PF1

=(1，-

1

2

)
由

PA

+

PB

=t

PF1

得t=2，直線l的方程為x=1．…（11分）
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程為y=k（x-1）
代入橢圓方程可得（

1

2

+k²）x²-2k²x+k²-1=0
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

所以

PA

=(x1，y1-

1

2

)，

PB

=(x2，y2-

1

2

)，

PF1

=(1，-

1

2

)
由

PA

+

PB

=t

PF1

得x₁+x₂=t，y1+y2=1-

t

2

…（13分）
因?yàn)閥₁+y₂=k（x₁+x₂-2），所以1-

t

2

=k(t-2)
又

4k2

1+2k2

=t，∴k=-

1

2

，t=

2

3

此時，直線l的方程為y=-

1

2

（x-1）…（16分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查向量知識的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．