Question

從（0，1）中隨機取出兩個數(shù)，求下列概率：
（1）兩數(shù)之和大于

6

5

；
（2）兩數(shù)平方和小于

1

4

．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)兩數(shù)分別為x、y，在坐標系中作出圖形，則所有的基本事件對應(yīng)的圖形為正方形OABC內(nèi)部，事件“x+y＞

6

5

”包含的基本事件對應(yīng)的圖形是正方形OABC內(nèi)部且在直線x+y=

6

5

上方的部分，求出它們的面積并利用幾何概型公式，即可算出兩數(shù)之和大于

6

5

的概率；
（2）事件“x²+y²＜

1

4

”包含的基本事件對應(yīng)的圖形為圖中扇形面積OHK內(nèi)部，所有基本事件對應(yīng)的圖形為正方形OMNP內(nèi)部，求出它們的面積并利用幾何概型公式，即可算出所求概率．

解答： 解：（1）記“兩數(shù)之和大于

6

5

”為事件A．
從（0，1）中隨機取出兩個數(shù)，設(shè)兩數(shù)分別為x、y，
則所有基本事件對應(yīng)的圖形為正方形OABC內(nèi)部，其中A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）、O是坐標原點．
而事件A=“x+y＞

6

5

”，包含的基本事件對應(yīng)的圖形在直線x+y=

6

5

上方且在正方形OABC內(nèi)部，即圖中△BDE內(nèi)部，其中D（

1

5

，1）、E（1，

1

5

）．
∵S_△BDE=

1

2

×(1-

1

5

)2=

8

25

，S_{正方形OABC}=1×1=1，
∴事件A發(fā)生的概率為P（A）=

S△BDE

S正方形OABC

=

8

25

．
（2）設(shè)兩數(shù)分別為x、y，則所有基本事件對應(yīng)的圖形為正方形OMNP內(nèi)部，
其面積為S=1；
記“兩數(shù)平方和小于

1

4

”為事件B，則B=“x²+y²＜

1

4

”，
事件B包含的基本事件為圖中扇形面積OHK內(nèi)部，
其半徑為

1

2

、圓心角是直角，面積為S'=

1

4

π×(

1

2

)2=

π

16

．
∴事件B發(fā)生的概率為P（B）=

S′

S

=

π

16

．
答：（1）兩數(shù)之和大于

6

5

的概率為

8

25

；（2）兩數(shù)平方和小于

1

4

的概率為

π

16

．

點評：本題從（0，1）中隨機取出兩個數(shù)，求滿足條件的概率值．著重考查了平面圖形的面積求法與幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．