選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x+2|.
(I)解不等式f(x)>5;
(II)若不等式f(x)<a(a∈R)的解集為空集,求a的取值范圍.
【答案】
分析:(Ⅰ)把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的3個不等式組,先求出每個不等式組的解集,取并集即得所求.
(II)先求出函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x+2|的最小值等于2,即 f(x)∈[2,+∞),根據(jù)f(x)<a(a∈R)的解集為空集,求得a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)不等式f(x)>5 即|x-1|+|2x+2|>5,∴①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190139965214634/SYS201310241901399652146023_DA/0.png)
,或②
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,或③
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.
解①得 x<-2,解②得 x∈∅,解③得 x>
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故原不等式的解集為 {x|x<-2,或 x>
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}.
(Ⅱ)由于函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x+2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離加上 數(shù)軸上的x對應(yīng)點到-1對應(yīng)點的距離的2倍,
故當(dāng)x=-1時,函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x+2|有最小值等于2,即 f(x)∈[2,+∞).
由于f(x)<a(a∈R)的解集為空集,則a∈(-∞,2].
點評:本題主要考查絕對值不等式的解法,求函數(shù)的最小值的方法,體現(xiàn)了分類討論與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.