Question

已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），設(shè)A為圓C與x軸負半軸的交點，過點A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點恰好落在y軸上．
（1）當(dāng)r在（1，+∞）內(nèi)變化時，求點M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)軌跡E的準線為l，N為l上的一個動點，過點N作軌跡E的兩條切線，切點分別為P，Q．求證：直線PQ必經(jīng)過x軸上的一個定點B，并寫出點B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點．因為C（1，0），，．在⊙C中，因為CD⊥DM，所以，，由此能求出點M的軌跡E的方程．
（2）軌跡E的準線l：x=-1，所以，可設(shè)N（-1，t），過N的斜率存在的直線方程為：y-t=k（x+1），由得．由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．由此入手能夠證明直線PQ必經(jīng)過x軸上的一個定點B，并能求出B的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點．
因為C（1，0），，．
在⊙C中，因為CD⊥DM，所以，，
所以．
所以，y²=4x（x≠0）
所以，點M的軌跡E的方程為：y²=4x（x≠0）（5分）（說明漏了x≠0不扣分）
（2）軌跡E的準線l：x=-1
所以，可設(shè)N（-1，t），過N的斜率存在的直線方程為：y-t=k（x+1）
由得．
由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．
設(shè)直線NP，NQ斜率分別為k₁，k₂，則k₁k₂=-1①且，
所以，
所以，直線PQ的方程：．
令y=0，則
由①知，x=1即直線PQ過定點B（1，0）．（10分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．