Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n，滿足Sn=2-an-

2

2n

(n∈N*)
（1）求出a₁的值，并用n與a_n表示出a_n+1
（2）求證存在一個等比數列{b_n}，使得{a_nb_n}是一個公差為3的等差數列
（3）試直接寫出bn+

300

n

an(n∈N*)的最小值．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入條件可求得a₁，由Sn=2-an-

2

2n

，可得Sn+1=2-an+1-

2

2n+1

，兩式相減整理后可得a_n+1
（2）由an+1=

1

2

an+

1

2n+1

，得2n+1an+1-2nan=1，于是3×2n+1an+1-3×2nan=3，令bn=3×2n，即可滿足題意；
（3）由（2）可求得a_n，從而得到bb+

300

n

an，利用基本不等式可求得其最小值，注意考慮n的取值范圍；

解答：（1）解：由條件，n=1時，S₁=2-a₁-1，解得a1=

1

2

；
∵Sn=2-an-

2

2n

①，∴Sn+1=2-an+1-

2

2n+1

②，
②-①，得Sn+1-Sn=(2-an+1-

2

2n+1

)-(2-an-

2

2n

)，即an+1=an-an+1+

1

2n

，
所以an+1=

1

2

an+

1

2n+1

；
（2）證明：∵an+1=

1

2

an+

1

2n+1

，∴2n+1an+1-2nan=1，
則3×2n+1an+1-3×2nan=3，
令bn=3×2n，∵

bn+1

bn

=2對一切n∈N^*恒成立，
所以存在等比數列{b_n}，使得{a_nb_n}是一個公差為3的等差數列；
（3）解：bn+

300

n

an（n∈N^*）的最小值為

123

2

，
由（2）知2n+1an+1-2nan=1，所以{2ⁿa_n}為公差為1的等差數列，2ⁿa_n=1+（n-1）•1=n，
所以an=

n

2n

，又bn=3×2n，
所以bn+

300

n

an=3×2ⁿ+

300

2n

≥2

3×2n× 300 2n

=60，
當3×2n=

300

2n

即2ⁿ=10時取等號，
由于n∈N^*，且n=3時3×23+

300

23

=

123

2

，n=4時，3×24+

300

24

=

259

4

，
所以所求最小值為

123

2

．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、等差關系的確定，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．