Question

有一個(gè)項(xiàng)數(shù)為10的實(shí)數(shù)等比數(shù)列{a_n}，S_n（n≤10）表示該數(shù)列的前n項(xiàng)和．當(dāng)2≤n≤10時(shí)，若S_k，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，求證a_k-1，a₉，a₆也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：本題考查等差數(shù)列及其證明，題意清晰、思路明確，設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)當(dāng)2≤n≤10時(shí)，S_k，S₁₀，S₇成等差數(shù)列可以將其用首項(xiàng)a₁及公比q表示，同樣用首項(xiàng)a₁及公比q分別表示a_k-1，a₉，a₆，然后通過a₁及q的聯(lián)系證明之．

解答：解：由題意，當(dāng)q=1時(shí)，20a₁=ka₁+7a₁，∴k=13＞10，
此時(shí)s_k，s₁₀，s₇不成等差數(shù)列；
當(dāng)q≠1時(shí)，s_k=

a1(1-qk)

1-q

，s₁₀=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

；
由2s₁₀=s_k+s₇得：2q¹⁰=q^k+q⁷，
即：2q⁸=q^k-2+q⁵，
∴2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵，
從而得：2a₉=a_k-1+a₆，
∴a_k-1，a₉，a₆也成差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題的證明抓住了已知的“S_k，S₁₀，S₇成等差數(shù)列”和所證明的“a_k-1，a₉，a₆也成等差數(shù)列”的關(guān)鍵紐帶首項(xiàng)a₁和q，使證明顯得自然流暢，大有水到渠成之感，需要注意的是運(yùn)算中化簡整理非常重要，這是去除表象，找到本質(zhì)的一個(gè)過程．