【題目】如圖所示,某村積極開展“美麗鄉(xiāng)村生態(tài)家園”建設(shè),現(xiàn)擬在邊長為1千米的正方形地塊ABCD上劃出一片三角形地塊CMN建設(shè)美麗鄉(xiāng)村生態(tài)公園,給村民休閑健身提供去處.點M,N分別在邊AB,AD上. (Ⅰ)當(dāng)點M,N分別是邊AB,AD的中點時,求∠MCN的余弦值;

(Ⅱ)由于村建規(guī)劃及保護(hù)生態(tài)環(huán)境的需要,要求△AMN的周長為2千米,請?zhí)骄俊螹CN是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請說明理由.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)∠DCN=∠BCM=θ,當(dāng)點M,N分別是邊AB,AD的中點時,在直角三角形中可得sinθ= ,cosθ= ,然后利用cos∠MCN=cos( ﹣2θ)求解;

(Ⅱ)設(shè)∠BCM=α,∠DCN=β,探究α+β是否為定值即可。設(shè)AM=x,AN=y,則BM=1﹣x,DN=1﹣y,可得tanα=1﹣x,tanβ=1﹣y,于是得tan(α+β)= ,再由

△AMN的周長為2千米得xy=2(x+y)﹣2,代入后可得tan(α+β)=1.故可得α+β= ,于是可得∠MCN為定值。

試題解析:

(Ⅰ)當(dāng)點M,N分別是邊AB,AD的中點時,設(shè)∠DCN=∠BCM=θ,則∠MCN= ﹣2θ,

由條件得CD=BC=1,DN=BM= ,CN=CM= ,

所以sinθ= ,cosθ= ,

所以cos∠MCN=cos( ﹣2θ)=sin2θ=2sinθcosθ= ,

即∠MCN的余弦值是

(Ⅱ)設(shè)∠BCM=α,∠DCN=β,AM=x,AN=y,則BM=1﹣x,DN=1﹣y,

在△CBM中,tanα=1﹣x,

在△CDN中,tanβ=1﹣y,

所以tan(α+β)= = = ,(*)

因為△AMN的周長為2千米,

所以x+y+ =2,

化簡得xy=2(x+y)﹣2,

將上式代入(*)式,可得

tan(α+β)= = = =1,

,

所以α+β= ,

所以∠MCN是定值,且∠MCN=

練習(xí)冊系列答案
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(1)求f(2)的值;

(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明;

(3)若函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集.

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分?jǐn)?shù)

甲班頻數(shù)

5

6

4

4

1

一般頻數(shù)

1

3

6

5

5

(1)由以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的額概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?

甲班

乙班

總計

成績優(yōu)良

成績不優(yōu)良

總計

附:,其中.

臨界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核.在這8人中,記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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