已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）可得對稱軸為x=1，可設f（x）=a（x-1）2+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）根據(jù) f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上是單調函數(shù)則對稱軸應該在區(qū)間的左側或在區(qū)間的右側，從而可求出a的取值范圍．
解答：解（1）由已知，設f（x）=a（x-1）2+1，由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x2-4x+3．
（2）二次函數(shù)的對稱軸為x=1，
當對稱軸在區(qū)間的左側時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上單調遞增，即3a≥1解得a≥
1
3
，
當對稱軸在區(qū)間的右側時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上單調遞減，即a+1≤1解得a≤0，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為(-∞，0]∪[
1
3
，+∞)
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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