Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求其極值即可；

（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義轉(zhuǎn)化為有二不等正根，，利用一元二次方程根的分布的相關(guān)知識(shí)求出的取值范圍，利用韋達(dá)定理求出之間的關(guān)系，通過作差求出的表達(dá)式，設(shè)，則，通過構(gòu)造函數(shù)并對(duì)其求導(dǎo)判斷單調(diào)性求其最值即可求出的取值范圍.

（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，

所以可得之間的關(guān)系如下表：

				1
		0		0
		極大值		極小值

∴由表中的數(shù)據(jù)可知，

，.

（2）由題意知，，

設(shè)，

因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以有二不等正根，，

∴，解得，

因?yàn)?/span>，是方程的兩根，

由韋達(dá)定理可得，，，即，

由可得，，

由可得，

∴，

∵，，∴，

設(shè)，則，

所以，∴在上單調(diào)遞減，

∴，即的取值范圍為.