已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y∈R都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)求 f(x)的解析式.
分析:(1)根據(jù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y∈R都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且題中已經(jīng)給出了f(1)=0,要求的值是f(0),所以,令x=1,y=0即可求f(0);
(2)在(1)中已經(jīng)求出了f(0)的值,只需在給出的等式中取y=0即可求 f(x)的解析式.
解答:解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立.且f(1),所以令x=1,y=0,
代入上式得f(1)-f(0)=2,所以f(0)=-2.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,所以令y=0,代入上式得
f(x)-f(0)=x(x+1),又由(1)知f(0)=-2,所以f(x)=x(x+1)-2.
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法.關(guān)鍵是結(jié)合已知條件和要求的結(jié)論對(duì)變量恰當(dāng)賦值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青島一模)已知函數(shù)f(x)對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f(x)=f(4-x),且當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足xf′(x)>2f′(x),若2<a<4則( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•綿陽一模)已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(-1,1)上,f(
1
2
)=-1,且當(dāng)x,y∈(-1,1)時(shí),恒有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
).又?jǐn)?shù)列{an}滿足,a1=
1
2
,an+1=
2an
1+an2

(I )證明:f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù)
( II )求f(an)的表達(dá)式;
(III)設(shè)bn=
1
2log2|f(an+1)
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若T2n+1-Tn
m
15
(其中m∈N*)對(duì)N∈N*恒成立,求m的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•濱州一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中c=2
3
,f(C)=0,若向量
m
=(sinB,2)與向量
n
=(1,-sinA)垂直,求a,b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•武清區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)f(y),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,設(shè)M={y|f(y)f(1-2a)>f(1)},N={y|f(ax2+2x-y+3)=1,x∈R},若M∩N=∅,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
1
2
≤a≤1
1
2
≤a≤1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•內(nèi)江一模)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R有f(x)+f(-x)=0,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln(x+1),則函數(shù)f(x)的大致圖象為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案