【答案】
分析:(1)由a
n+1>a
n恒成立,知

>a
n,所以2a
n2-a
n-1<0恒成立,故2a
2-a-1<0恒成立,由此能求出a的取值范圍.
(2)當(dāng)

時(shí),{a
n}是增函數(shù),由0<a
n<1,知n≥2時(shí),

,從而當(dāng)n≥2時(shí),

,事實(shí)上,

等價(jià)于

.由此能夠證明

.
(3)當(dāng)a=2時(shí),由數(shù)學(xué)歸納法可證a
n>1,n∈N
*.從而

=

.于是,當(dāng)n≥2時(shí),T
n=|a
2-a
1|+|a
3-a
2|+…+|a
n-a
n-1|=(a
1-a
2)+(a
2-a
3)+…+(a
n-1-a
n)
=a
1-a
n,由此能夠證明T
n<1.
解答:解:(1)∵數(shù)列

).
且a
n+1>a
n恒成立,
∴

>a
n,
∴2a
n2-a
n-1<0恒成立,
∴2a
2-a-1<0恒成立,(a-1)(2a+1)<0,
∵a>0,∴2a+1>0,
∴a<1,
綜上所述,a的取值范圍0<a<1.
(2)當(dāng)

時(shí),
∵a
n+1>a
n恒成立,
∴{a
n}是增函數(shù),
∵a
n+1>a
n恒成立,
∴

>a
n,
∴2a
n2-a
n-1<0恒成立,
解得

.
∵{a
n}是增函數(shù),且

,
∴0<a
n<1,
∴n≥2時(shí),

,
從而當(dāng)n≥2時(shí),

,
即

,
事實(shí)上,

∴

∴49(1+a
n)>2(2a
n+5)
2∴8a
n2-9a
n+1<0
∴(8a
n-1)(a
n-1)<0,
∴

.
而當(dāng)n=1時(shí),

,
于是1-a
n≤

=

,
當(dāng)且僅當(dāng)n=1,2時(shí),
等號(hào)成立,
∴n-S
n=(1-a
1)+(1-a
2)+…+(1-a
n)
<

=

=

<

.
即

.
(3)當(dāng)a=2時(shí),a
1=2,a
n+1=

,
①a
1=2>1成立,
②假設(shè)a
k>1,
則

>1,
由①②知a
n>1,n∈N
*.
從而

=

,
即a
n+1<a
n,數(shù)列{a
n}遞減,
于是,當(dāng)n≥2時(shí),
T
n=|a
2-a
1|+|a
3-a
2|+…+|a
n-a
n-1|
=(a
1-a
2)+(a
2-a
3)+…+(a
n-1-a
n)
=a
1-a
n<2-1
=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,考查學(xué)生探究研究問題的能力.考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).