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已知橢圓C：上存在關于直線l：y=2x+m對稱的兩點，試求m的取值范圍．

 

答案：
解析：

解法一：(設對稱直線，用韋達定理)設與直線l垂直且與橢圓C相交的直線l1的方程為y=n，代入橢圓C的方程，并整理得：

　　25x2-36nx+36n2-144=0

　　當D =(36n)2-4×25×(36n2-144)＞0

　　即-＜n＜時，直線l1與橢圓C交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)兩點．設線段PQ中點為M(x，y)

　　由韋達定理知：

　　

　　

　　　　　

　　　　　

　　所以M點的坐標為(，)

　　又∵　點M在直線l上

　　∴　

　　∴　m

　　故當，即-2＜m＜2時，C上有不同的兩點關于l對稱

　　解法二：(巧設對稱點，利用平方差)設橢圓C上關于l對稱的兩點為P(x1，y1)、Q(x2，y2)，PQ中點為M(x0，y0)．

　　則

　�、�-②得：

　　4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0　　　 ⑥

　　將③、④代入⑥得：

　　8x0(x1-x2)+18y0(y1-y2)=0

　　即4x0(x1-x2)+9y0(y1-y2)=0

　　因為PQ⊥l，所以kPQ=

　　若x1=x2，則直線PQ的斜率不存在，與kPQ=矛盾．

　　故x1≠x2，則kPQ=

　　于是

　　解得9y0=8x0　　　　　　　　　　　�、�

　　由⑥、⑦得點M的坐標為(，)

　　因為點M在橢圓內

　　所以＜1

解得m的取值范圍為-2＜m＜2．

　　解法三：(設對稱點、對稱直線綜合求解)設與直線l垂直且與橢圓C相交的直線l1的方程為y=x+n，代入橢圓C的方程，整理得：

　　25x2-36nx+36n2-144=0

　　設l1與橢圓C相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)，PQ中點為M(x，y)．

　　則x1+x2=

　　y1+y2=-(x1+x2)+2n=

　　所以PQ的中點M(x，y)的軌跡的參數方程為：

　　消去參數n，得y=

　　由

　　求得直線y=與橢圓C：的交點為E、F．

　　所以點M的軌跡方程為

　　由

　　解得，代入，得．

　　∴　M點的坐標為

　　因為點M在橢圓內

　　所以

　　解得m的取值范圍是-2＜m＜2．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：022

已知橢圓C：上存在關于直線l：y=2x+m對稱的兩點，試求m的取值范圍．

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

例

已知橢圓C：上動點到定點,其中的距離的最小值為1.（1）請確定M點的坐標（2）試問是否存在經過M點的直線,使與橢圓C的兩個交點A、B滿足條件（O為原點）,若存在,求出的方程,若不存在請說是理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：數學公式上有兩點P和Q．P、Q在X軸上射影分別是橢圓的左右焦點F1，F2且P、Q連線斜率為數學公式．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若以PQ為直徑的圓與直線x+y+6=0相切，求橢圓C方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(理)無論m為任何實數,直線l:y=x+m與雙曲線C:=1(b＞0)恒有公共點.

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;

(2)若直線l經過雙曲線C的右焦點F與雙曲線C交于P、Q兩點,并且滿足=,求雙曲線C的方程.

(文)已知F1、F2分別為橢圓C:=1(a＞b＞0)的左、右焦點,直線l:y=2x+5與橢圓C交于兩點P1、P2,已知橢圓C的中心O關于直線l的對稱點恰好落在橢圓C的左準線上.

(1)求橢圓C的左準線的方程;

(2)如果a2是與的等差中項,求橢圓C的方程.

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