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20.已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx,(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)方程f(x)=2ax有唯一解時(shí),求a的取值范圍.

分析 (1)先求定義域,再求導(dǎo)函數(shù)f′(x),根據(jù)f′(x)>0和f′(x)<0,即可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-2ax,將方程f(x)=2ax有唯一解,轉(zhuǎn)化為g(x)=0有唯一解,即可求得a的值.

解答 解:(1)由已知得x>0且fx=2x2ax.…(1分)
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞),沒有減區(qū)間…(2分)
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=2x+axax,
所以當(dāng)x0a時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f'(x)>0,
所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是0a,增區(qū)間是a+…(4分)
(2)記g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-2ax,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
gx=2x2ax2a=2xx2axa,
令g'(x)=0,得x2-αx-a=0,△=a2+4a=a(a+4),
(i)當(dāng)-4≤a<0時(shí),△≤0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù); …(5分)
當(dāng)a<-4時(shí),△>0,設(shè)方程x2-ax-a=0的兩個(gè)根為x1,x2,
x1+x2=a<0,x1•x2=-a>0
所以當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).…(6分)
所以當(dāng)a<0時(shí),g(1)=1-2a>0且x→0時(shí),g(x)→-∞,
所以方程f(x)=2ax有唯一解…(7分)
( ii)當(dāng)a>0時(shí),方程x2-ax-a=0的兩個(gè)根x1<0,x2>0
當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(0,x2)是單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
當(dāng)x=x2時(shí),g(x2)=0,g(x)min=g(x2)∵g(x)=0有唯一解,∴g(x2)=0…(9分)
{gx2=0gx2=0,即{x222alnx22ax2=0x22ax2a=0,2alnx2+ax2-a=0,∵a>0,∴2lnx2+x2-1=0(※)
設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx+x-1,∵在x>0時(shí),h(x)是增函數(shù),∴h(x)=0至多有一解,
∵h(yuǎn)(1)=0,∴方程(※)的解為x2=1,且x22ax2a=0,所以a=12
綜上所述,當(dāng)a<0或a=12時(shí),方程f(x)=2ax有唯一解…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題.在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候,經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,在運(yùn)用的時(shí)候關(guān)鍵是要弄清楚分類討論的依據(jù)是什么.屬于難題.

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