分析 (1)先求定義域,再求導(dǎo)函數(shù)f′(x),根據(jù)f′(x)>0和f′(x)<0,即可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-2ax,將方程f(x)=2ax有唯一解,轉(zhuǎn)化為g(x)=0有唯一解,即可求得a的值.
解答 解:(1)由已知得x>0且f′(x)=2x−2ax.…(1分)
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞),沒有減區(qū)間…(2分)
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=2(x+√a)(x−√a)x,
所以當(dāng)x∈(0,√a)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(√a,+∞)時(shí),f'(x)>0,
所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(0,√a),增區(qū)間是(√a,+∞)…(4分)
(2)記g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-2ax,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
g′(x)=2x−2ax−2a=2x(x2−ax−a),
令g'(x)=0,得x2-αx-a=0,△=a2+4a=a(a+4),
(i)當(dāng)-4≤a<0時(shí),△≤0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù); …(5分)
當(dāng)a<-4時(shí),△>0,設(shè)方程x2-ax-a=0的兩個(gè)根為x1,x2,
x1+x2=a<0,x1•x2=-a>0
所以當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).…(6分)
所以當(dāng)a<0時(shí),g(1)=1-2a>0且x→0時(shí),g(x)→-∞,
所以方程f(x)=2ax有唯一解…(7分)
( ii)當(dāng)a>0時(shí),方程x2-ax-a=0的兩個(gè)根x1<0,x2>0
當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(0,x2)是單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
當(dāng)x=x2時(shí),g(x2)=0,g(x)min=g(x2)∵g(x)=0有唯一解,∴g(x2)=0…(9分)
則{g(x2)=0g′(x2)=0,即{x22−2alnx2−2ax2=0x22−ax2−a=0,2alnx2+ax2-a=0,∵a>0,∴2lnx2+x2-1=0(※)
設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx+x-1,∵在x>0時(shí),h(x)是增函數(shù),∴h(x)=0至多有一解,
∵h(yuǎn)(1)=0,∴方程(※)的解為x2=1,且x22−ax2−a=0,所以a=12•
綜上所述,當(dāng)a<0或a=12時(shí),方程f(x)=2ax有唯一解…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題.在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候,經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,在運(yùn)用的時(shí)候關(guān)鍵是要弄清楚分類討論的依據(jù)是什么.屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (2,+∞) | B. | (-4,+∞) | C. | (-2,+∞) | D. | (-4,-2)∪(2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 99 | B. | 100 | C. | 198 | D. | 200 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | -4 | C. | -3 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 若α∥β,a?α,則a∥β | B. | 若a?α,b?β,α⊥β,則a⊥b | ||
C. | 若a∥α,a∥b,則b∥α | D. | 若a∥α,b∥α,則a∥b |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -1 | B. | 1 | C. | √3 | D. | √22 |
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