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2.已知函數(shù)f(x)=ab,其中a=(2cosx,3sin2x),b=(cosx,1),x∈R.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,f(A)=2,a=7,且sinB=2sinC,求△ABC的面積.

分析 (1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)的化簡(jiǎn),以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出,
(2)根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式計(jì)算即可.

解答 解:(1)f(x)=ab=2cos2x+3sin2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1,
令-π2+2kπ≤2x+π6π2+2kπ,
解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,
函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-π3+kπ,π6+kπ],
(Ⅱ)∵f(A)=2
∴2sin(2A+π6)+1=2,即sin(2A+π6)=12 …(7分).
又∵0<A<π,∴A=π3.…(8分)
∵a=7,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=7   ①…(9分)
∵sinB=2sinC∴b=2c  ②…(10分)
由①②得c2=73.…(11分)
∴S△ABC=736.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式,余弦定理涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和三角形的面積公式,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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