Question

（1）幾何證明選講：如圖，CB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A為切點，AP與CB的延長線交于點P，若PA=8，PB=4，求AC的長度．
（2）坐標系與參數(shù)方程：在極坐標系Ox中，已知曲線C1：ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

與曲線C₂；ρ=1相交于A、B兩點，求線段AB的長度．
（3）不等式選講：解關(guān)于x的不等式|x-1|+a-2≤0（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割線定理，得PA²=PB×PC，結(jié)合PA=8、PB=4得PC=16=2PA．由△PAB∽△PCA，得AC=2AB，最后在Rt△ABC中利用勾股定理，算出AB=

12

5

5

，從而得到AC的長度是

24

5

5

；
（2）將曲線C₁化成ρcosθ-ρsinθ=1，即直線x-y-1=0，再將曲線C₂：ρ=1化成x²+y²=1，方程聯(lián)解得A（1，0），B（0，-1）．最后根據(jù)兩點間的距離公式，算出|AB|=

2

，即得線段AB的長度；
（3）不等式|x-1|+a-2≤0即|x-1|≤2-a．然后分a=2、a＞2和a＜2三種情況加以討論，分別解關(guān)于x的不等式|x-1|≤2-a，即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）∵AP是⊙O的切線，A為切點，∴PA²=PB×PC
∵PA=8，PB=4，∴PC=16，得PC=2PA
∵∠PAB=∠PCA，∠P是公共角
∴△PAB∽△PCA，得

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，即AC=2AB
∵Rt△ABC中，BC=PC-PB=12
∴AC²+AB²=BC²，即5AB²=144，得AB=

12

5

5

∴AC=2AB=

24

5

5

，即AC的長度是

24

5

5

（2）曲線C1：ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

，即ρ（cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

）=

2

2

∵cos

π

4

=sin

π

4

=

2

2

，
∴曲線C₁化成ρcosθ-ρsinθ=1，即直線x-y-1=0，
將曲線C₂：ρ=1化成普通方程，得x²+y²=1，原點為圓心、半徑為1的圓
由

x-y-1=0 x2+y2=1

，解得A（1，0），B（0，-1）
∴|AB|=

(0-1)2+(-1-0)2

=

2

，即線段AB的長度為

2

（3）不等式|x-1|+a-2≤0即|x-1|≤2-a
①當a=2時，不等式化成|x-1|≤0，解集為{1}；
②當a＞2時，因為2-a＜0且|x-1|≥0，所以不等式的解集為∅；
③當a＜2時，不等式|x-1|≤2-a化成a-2≤x-1≤2-a，得解集為{x|a-1≤x≤3-a}

點評：本題以圓中的比例線段、曲線的極坐標方程和含有絕對值的不等式解法為例，考查了切割線定理和相似三角形、極坐標與直角坐標的互化、直線與圓的位置關(guān)系和含有絕對值不等式解法等知識點，屬于基礎題．