在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線上橫坐標為4的點到該拋物線的焦點的距離為5.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)設(shè)點C是拋物線上的動點.若以點C為圓心的圓在y軸上截得的弦長為4,求證:圓C過定點.
同下
(1)根據(jù)題意,拋物線y2=2px的準線方程為x=-,且p>0. …………2分
因為拋物線上橫坐標為4的點到焦點的距離為5,所以該點到準線x=-的距離也為5.所以p=2.
故所求拋物線的標準方程為y2=4x. ……………………………………5分
(2)因為點C在拋物線上,故可設(shè)點C為(,t).
所以點C到y軸的距離為.
因為圓C在y軸上截得的弦長為4,所以圓C的半徑r==.
……………………………………………8分
所以圓C的方程為(x-)2+(y-t)2=()2.
即x2+y2-x-2ty+t2-4=0. …………………………………………………………10分
(方法一)因為圓C是動圓.
所以當t=0時,圓C的方程為x2+y2-4=0, ①
當t=2時,圓C的方程為x2+y2-2x-4y=0. ②
聯(lián)立①②,得 解得或 ……………………14分
把(2,0)代入圓C方程,左邊=22+02-×2-2t×0+t2-4=0=右邊,方程成立,所以圓C恒過定點(2,0).
把(-,)代入圓C的方程得,左邊=t2-t不恒為0,即隨著t的變化而變化.
故點(-,)可能不在圓C上.
所以圓C恒過定點(2,0). ………………………………………………………16分
(方法二)將方程x2+y2-x-2ty+t2-4=0整理為
(1-)t2-2yt+(x2+y2-4)=0. ① ……………………14分
①式對任意實數(shù)t都成立的充要條件是 即
所以圓C恒過定點(2,0). …………………………………………16分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 | t |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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2 |
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