Question

已知雙曲線x2-

y2

3

=1
（1）求此雙曲線的漸近線方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（2，3）的橢圓與此雙曲線有相同的焦點(diǎn)，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得 a、b，可得漸近線方程．
（2）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，即為橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到c的值，然后根據(jù)橢圓的定義得到a，最后利用a，b，c的關(guān)系即可求出b的值，得到橢圓方程．

解答：解：（1）雙曲線方程為x2-

y2

3

=1，
由此得a=1，b=

3

，
所以漸近線方程為y=±

3

x．
（2）雙曲線中，c=

a2+b2

=

3+1

=2，焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0）．
橢圓中，2a=

(2+2)2+(3-0)2

+

(2-2)2+(3-0)2

=8，
則a=4，b²=a²-c²=4²-2²=12．
所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握?qǐng)A錐曲線的共同特征，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合題．本題還考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，利用條件求出a，b，c值，是解題的關(guān)鍵．