橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B．點(diǎn)P雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，直線AP、BP與橢圓C1分別交于C、D點(diǎn)．若△ACD與△PCD的面積相等．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）能否使直線CD過橢圓C1的右焦點(diǎn)，若能，求出此時(shí)雙曲線C2的離心率，若不能，請(qǐng)說明理由．
（1）設(shè)P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）．
∵S△ACD=S△PCD，
∴C為AP的中點(diǎn)，∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)．
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得
(x0-a)2
a2
+
y20
b2
=4，
又
x20
a2
-
y20
b2
=1⇒
(x0-a)2
a2
+
x20
a2
=5，
∴x0=2a（x0=-a舍去），
∴y0=
3
b，
∴P(2a，
3
b)．
（2）∵KPD=KPB=
y0
x0-a
=
3
b
a
，
直線PD：y=
3
b
a
(x-a)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1⇒2x2-3ax+a2=0
∴xD=
a
2
(xD=a舍去)，
∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)，即C(
a
2
，
3
2
b)
∴CD垂直于x軸．若CD過橢圓C1的右焦點(diǎn)，則
a
2
=
a2-b2
，
∴b=
3
2
a，
∴e=
a2+b2
a
=
7
2
．故可使CD過橢圓C1的右焦點(diǎn)，此時(shí)C2的離心率為
7
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，直線AF，BF分別與拋物線交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）記直線MN的斜率為k1，直線AB的斜率為k2．證明：
k1
k2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：2
OD
=
OF
+
OP
（O為原點(diǎn)）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?
CM
•
CN
為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：x2=2py（p＞0）與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線l與圓O相切，切點(diǎn)在劣弧AB（含A、B兩點(diǎn)）上，且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，d是M、N兩點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（文科）一動(dòng)圓過定點(diǎn)P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動(dòng)點(diǎn)記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線x2=4
3
y的準(zhǔn)線過雙曲線
x2
m2
-y2=-1的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為P（1，0），過C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C2：y=x2+h（h∈R）的焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C2的切線交于Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)在橢圓C1上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線C2的方程．

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