Question

設(shè)S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n和S_n滿足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3，…），則S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由4S_n=（a_n+1）²，當(dāng)n=1時(shí)，解得a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=(

an

2

+

1

2

)2-(

an-1

2

+

1

2

)2，可得a_n-a_n-1=2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： 解：由4S_n=（a_n+1）²，當(dāng)n=1時(shí)，4a₁=(a1+1)2，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=(

an

2

+

1

2

)2-(

an-1

2

+

1

2

)2，
∵?n∈N^*，a_n＞0．
化為a_n-a_n-1=2．
∴a_n=2n-1．
∴S_n=n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．