Question

已知圓C：x²+y²-6y-16=0與x軸相交于F₁、F₂，與y軸正半軸相交于B，以F₁、F₂為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的橢圓記為G．
（1）求橢圓G的方程；
（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，任意橢圓都有一個(gè)四邊都與橢圓相切的正方形，這個(gè)正方形稱為橢圓的外切正方形，試求橢圓G外切正方形四邊所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出a，b，c以及求出橢圓方程．
（2）先把其中一邊設(shè)出來(lái)，利用相切對(duì)應(yīng)判別式為0，求出直線方程，就可另三邊所在直線方程．

解答：解：（1）

x2+y2-6y-16=0 y=0

得F₁（-4，0）、F₂（4，0），
解

x2+y2-6y-16=0 x=0

得B（0，8），所以c=4，b=8，a=

a2+b2

=4

5

，
所以橢圓G的方程是

x2

80

+

y2

64

=1．
（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，設(shè)外切正方形一邊的方程為：y=x+b，
由

x2 80 + y2 64 =1 y=x+b

得9x²+10bx+5b²-320=0，由△=（10b）²-4×9×（5b²-320）=0（11分），解得b=±12，
正方形四邊所在直線為y=x±12，y=-x±12．

點(diǎn)評(píng)：本題只要考查圓與橢圓的綜合問(wèn)題．其中涉及到了橢圓的外切正方形，在設(shè)正方形的邊時(shí)，要借助于圖象分析出直線特點(diǎn)．