Question

（理科）若正四面體S-ABC的底面△ABC內(nèi)有一動點(diǎn)P分別到面SAB，面SBC，面SAC的距離成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡正確的是

（1）

；
（1）一條線段        
（2）一個點(diǎn)       
（3）一段圓弧       
（4）拋物線的一段．

Answer 1

分析：設(shè)正四面體棱長為1，由于P到面SAB、面SBC、面SAC的距離成等差數(shù)列，可算出點(diǎn)P到平面SBC的距離等于

6

9

（定值），因此點(diǎn)P在與平面SBC平行且距離為

6

9

的平面α內(nèi)，說明P在平面ABC與平面α的交線上，由此可得本題答案．

解答：解：連接PA、PB、PC、PS，設(shè)P在平面SBC、平面SAC和平面SAB的射影
分別為F、G和H，連接PF、PG、PH
設(shè)正四面體棱長為1，可得它的體積為
V=

1

3

×S_△ABC×h=

1

3

×

3

4

×

6

3

=

2

12

∵PH、PF、PG成等差數(shù)列，
∴設(shè)PH=PF-x，PG=PF+x（x＜PF），得
V_P-ABS=

1

3

×S_△ABS×PH=

3

12

（PF-x），
V_P-BCS=

1

3

×S_△BCS×PH=

3

12

PF，V_P-ACS=

1

3

×S_△BCS×PH=

3

12

（PF+x）
由此可得

3

12

（PF-x）+

3

12

PF+

3

12

（PF+x）=

2

12

，化簡可得PF=

6

9

所以動點(diǎn)P到平面SBC的距離為

6

9

（定值），
得P在與平面SBC平行且距離為

6

9

的平面內(nèi)，設(shè)這個平面為α
∴點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，可得P在△ABC內(nèi)的軌跡是一條線段
故答案為：（1）

點(diǎn)評：本題給出正四面體底面ABC內(nèi)滿足特殊條件的點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡曲線，著重考查了正四面體的性質(zhì)、等差數(shù)列的應(yīng)用和軌跡的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．