本試題主要是考查了雙曲線方程的求解,已知直線與雙曲線的位置關系的綜合運用。
(1)利用已知中的漸近線方程是
,雙曲線過點
那么設出雙曲線的標準方程,然后代入點和a,b的關系得到求解。
(2)假設存在直線
,使G(2,2)平分線段MN,那么利用對稱性,分別設出點的坐標,那么聯立方程組,可知斜率,得到直線的方程,從而驗證是否存在。
(1)如圖,設雙曲線方程為
=1 …………1分
由已知得
………………………………………3分
解得
…………………………………………………5分
所以所求雙曲線方程為
="1" ……………………6分
(2)P、A
1、A
2的坐標依次為(6,6)、(3,0)、(-3,0),
∴其重心G的坐標為(2,2)…………………………………………………………8分
假設存在直線
,使G(2,2)平分線段MN,
設M(x
1,y
1),N(x
2,y
2) 則有
,∴
kl=
……………………10分
∴
l的方程為
y=
(
x-2)+2,12分
由
,消去
y,整理得
x2-4
x+28="0"
∵
Δ=16-4×28<0,∴所求直線
不存在…………………………………………14分