已知A(1,-
3
2
)
,B(4,3),C(6,m),A,B,C三點共線,O為坐標原點.
(1)求向量
OB
OC
的夾角的余弦值.
(2)設
OD
=t
OA
+
OB
,若
OD
OC
,求向量
OD
在向量
OB
上的投影.
分析:(1)由題意求得
AB
、
BC
 的坐標,再根據(jù)
AB
BC
的性質(zhì)求得m的值,可得
OB
OC
的坐標,再利用兩個向量的夾角公式求得向量
OB
,
OC
的夾角的余弦值.
(2)先求得
OD
的坐標,由
OD
OC
得求得t的值,可得
OD
的坐標,從而求得
OD
OB
上的投影
OD
OB
|
OB
|
的值.
解答:解:(1)由題意可得
AB
=(3,
9
2
)
BC
=(2,m-3)

∵A,B,C三點共線,∴
AB
BC
,
3(m-3)-
9
2
×2=0
,解得m=6,
OB
=(4,3),
OC
=(6,6)

設向量
OB
OC
的夾角為θ,則有 cosθ=
OB
OC
|
OB
|•|
OC
|
=
7
2
10

(2)∵
OD
=t
OA
+
OB
=(4+t,3-
3
2
t)
,由
OD
OC
得:6(4+t)+6(3-
3
2
t)=0
,
解得t=14,∴
OD
=(18,-18)
,
OD
OB
上的投影為
OD
OB
|
OB
|
=
18
5
點評:本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì),用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角,兩個向量坐標形式的運算,屬于中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=cosxsinφ-2sinxsin2
φ
2
+sinx(0<φ<x)
在x=π處取最小值.
(1)求φ的值;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知a=1,b=
2
,f(A)=
3
2
,求角C的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A(1,
3
)
,B(4,2
3
)
,直線l過原點O且與線段AB有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是( 。
A、[
3
3
,
3
]
B、[
3
2
3
]
C、(
3
2
3
]
D、[
3
3
,
3
2
]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A(1,
3
)
,B(-3,-
3
)
,直線l過原點O且與線段AB有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是( 。
A、[
3
3
3
]
B、(-∞,0]∪[
3
3
,
3
]
C、(
3
2
,
3
]
D、(-∞,
3
3
]∪[
3
,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(1,0),
b
=(-
3
2
,-
1
2
),
c
=(
3
2
,-
1
2
)
,x
a
+y
b
+z
c
=(1,1)
,則x2+y2+z2最小值為
12
5
12
5

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