Question

設(shè)

e1

與

e2

是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°，且

a

=2

e1

+

e2

，

b

=-3

e1

+2

e2

．
（1）求

a

•

b

；
（2）求|

a

|和|

b

|；
（3）求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到；
（3）運(yùn)用向量的夾角公式和夾角的范圍，計(jì)算即可得到所求值．

解答： 解：（1）由

e1

與

e2

是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°，
則

e1

•

e2

=1×1×

1

2

=

1

2

，

a

•

b

=（2

e1

+

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）=-6

e1

2+2

e2

2+

e1

•

e2

=-6+2+

1

2

=-

7

2

；
（2）|

a

|=

(2 e1 + e2 )2

=

4 e1 2+ e2 2+4 e1 • e2

=

4+1+4× 1 2

=

7

，
|

b

|=

(-3 e1 +2 e2 )2

=

4 e2 2-12 e1 • e2 +9 e1 2

=

4-12× 1 2 +9

=

7

；
（3）cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

- 7 2

7 × 7

=-

1

2

，
由于0≤＜

a

，

b

＞≤π，
則有

a

與

b

的夾角

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查向量的夾角公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．