Question

若正實數x，y，z滿足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，則x+y的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：把x，y看成是一元二次方程的兩個實數根，根據根與系數的關系列出一元二次方程，然后由判別式得到z的取值范圍，求出x+y的最小值．

解答： 解：∵x+y+z=4，
∴x+y=4-z
∵xy+yz+zx=5
∴xy=5-yz-xz=5-z（x+y）=5-z（4-z）=z²-4z+5
由韋達定理知：xy是一元二次方程t²-（4-z）t+（z²-4z+5）=0的兩實根，
則判別式△=（4-z）²-4（5-4z+z²）≥0，
化簡得：（z-2）（3z-2）≤0，
又x，y，z為正實數
∴

2

3

≤z≤2，
∴z的最大值是2．
x+y的最小值是4-2=2．
故答案為：2．

點評：此題考查了最值問題．解此題的關鍵是得到關于z的一元二次方程，利用判別式求解．此題難度較大，解題時要注意細心．