Question

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a]（a＞-1）上的值域．

Answer 1

（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x，
又f（x）為奇函數(shù)，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（-x²-2x）=x²+2x，又f（0）=0
故．
（2）結(jié)合f（x）的圖象，f（-1）=-1，由得．
①當(dāng)-1＜a≤1時(shí)，函數(shù)在[-1，a]單調(diào)遞增，值域?yàn)閇-1，f（a）]．
又x＞0，f（x）=-x²+2x，x＜0，f（x）=x²+2x．
則-1＜a≤0時(shí)，值域?yàn)閇-1，a²+2a]，0＜a≤1時(shí)，值域?yàn)閇-1，-a²+2a]．
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，在[1，a]上單調(diào)遞減．
最小值在x=-1處取得，最大值在x=1處取得，此時(shí)值域?yàn)閇-1，1]．
③當(dāng)a時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，在[1，a]是單調(diào)遞減．
最大值在x=1處取得，最小值在x=a處取得．
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇-a²+2a，1]．
綜上所述：當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，值域?yàn)閇-1，a²+2a]；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，值域?yàn)閇-1，-a²+2a]；
當(dāng)時(shí)，值域?yàn)閇-1，1]；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇-a²+2a，1]．
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義即可求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，先畫出圖象，然后對a（要考慮函數(shù)的解析式及單調(diào)性）進(jìn)行分類討論即可求出函數(shù)的值域．
點(diǎn)評：掌握奇函數(shù)的定義和靈活的利用分類討論是解題的關(guān)鍵．