Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+asinx．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為-6，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若a∈R，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，根據(jù)函數(shù)f（x）=-（sinx-1）²+2，-1≤sinx≤1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（2）若函數(shù)f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的最小值為-6，分當(dāng)a≤0和a＞0兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的最小值為-6，求得a的值，綜合可得結(jié)論．
（3）由于f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的對(duì)稱軸為x=

a

2

，再分對(duì)稱軸在區(qū)間[-1，1]的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，∵函數(shù)f（x）=cos²x+asinx=1-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，-1≤sinx≤1，
∴當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為2，當(dāng)sinx=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2，故函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2]．
（2）若函數(shù)f（x）=-sin²x+asinx+1=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的最小值為-6，
當(dāng)a≤0時(shí)，由函數(shù)的最小值為-(-1-

a

2

)2+

a2

4

+1=-6，求得 a=-6．
當(dāng)a＞0時(shí)，由函數(shù)的最小值為-(1-

a

2

)2+

a2

4

+1=-6，求得a=6．
綜上可得，a=±6．
（3）由于f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的對(duì)稱軸為x=

a

2

，
當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為-(-1-

a

2

)2+

a2

4

+1=-a，
當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為 

a2

4

+1，
當(dāng)

a

2

＞2時(shí)，即a＞2時(shí)，-(1-

a

2

)2+

a2

4

+1=a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．