Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求證：BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D₁的余弦值；
（Ⅲ）在線段CC₁上是否存在點(diǎn)P，使得平面A₁CD₁⊥平面PBD，若存在，求出

CP

PC1

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質(zhì),直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AA₁，BD⊥AC，從而得到BD⊥平面A₁AC，由此能證明BD⊥A₁C．
（Ⅱ） 以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出二面角A-A₁C-D₁的余弦值．
（Ⅲ）設(shè)P（x₂，y₂，z₂）為線段CC₁上一點(diǎn)，且

CP

=λ

PC1

，0≤λ≤1．利用向量法能求出當(dāng)

CP

PC1

=

1

3

時(shí)，平面A₁CD₁⊥平面PBD．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD，且ABCD為正方形．…（1分）
∵BD?平面ABCD，∴BD⊥AA₁，BD⊥AC．…（2分）
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面A₁AC．…（3分）
∵A₁C?平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C．…（4分）
（Ⅱ）解：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），
C₁（0，2，4），D₁（0，0，4），…（5分）
∵

D1A1

=（2，0，0），

D1C

=（0，2，-4）．
設(shè)平面A₁D₁C的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁）．
∴

n • D1A1 =0 n • D1C =0

．即

x1=0 2y1-4z1=0

，…（6分）
令z₁=1，則y₁=2．∴

n

=（0，2，1）．
由（Ⅰ）知平面AA₁C的法向量為

DB

=（2，2，0）．…（7分）
∴cos＜

DB

，

n

＞=

4

5 •2 2

=

10

5

．…（8分）
∵二面角A-A₁C-D₁為鈍二面角，
∴二面角A-A₁C-D₁的余弦值為-

10

5

．…（9分）
（Ⅲ）解：設(shè)P（x₂，y₂，z₂）為線段CC₁上一點(diǎn)，且

CP

=λ

PC1

，0≤λ≤1．
∵

CP

=（x₂，y₂-2，z₂），

PC1

=（-x₂，2-y₂，4-z₂）．
∴（x₂，y₂-2，z₂）=λ（-x₂，2-y₂，4-z₂）．…（10分）
即x2=0，y2=2，z2=

4λ

1+λ

．
∴P（0，2，

4λ

1+λ

）．…（11分）
設(shè)平面PBD的法向量

m

=(x3，y3，z3)．
∵

DP

=(0，2，

4λ

1+λ

)，

DB

=(2，2，0)，
∴

m • DP =0 m • DB =0

．即

2y3+ 4λ 1+λ z3=0 2x3+2y3=0

．…（12分）
令y₃=1，得

m

=（-1，1，-

1+λ

2λ

）．…（13分）
若平面A₁CD₁⊥平面PBD，則

m

•

n

=0．
即2-

1+λ

2λ

=0，解得λ=

1

3

．
所以當(dāng)

CP

PC1

=

1

3

時(shí)，平面A₁CD₁⊥平面PBD．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．