Question

給出下列命題
①存在x∈(0，

π

2

)，使sinx+cosx=

1

3

；
②存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0；
③y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；
④y=cos2x+sin(

π

2

-x)既有最大值和最小值，又是偶函數(shù)；
⑤y=sin|2x+

π

6

|的最小正周期為π．
其中錯誤的命題為

①②③⑤

（把所有符合要求的命題序號都填上）

Answer 1

分析：①由已知可得sinxcosx=-

4

9

＜0，則當(dāng)x∈(0，

1

2

π)不符合題意；②結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象可知，不存在區(qū)間使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0；③y=tanx在區(qū)間（-

1

2

π+kπ，

1

2

π+kπ），（k∈Z）上單調(diào)遞增，但是在定義域內(nèi)不是增函數(shù)；④y=cos2x+sin(

π

2

-x)=cos²x+cosx=(cosx+

1

2

)2-

1

4

，可判斷函數(shù)的最值的情況，及函數(shù)的奇偶性⑤結(jié)合函數(shù)的圖象可知，y=sin|2x+

π

6

|的最小正周期為

1

2

π．

解答：解：①若sinx+cosx=

1

3

，則有1+2sinxcosx=

1

9

，即sinxcosx=-

4

9

＜0，則當(dāng)x∈(0，

1

2

π)不符合題意，故①錯誤
②結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象可知，不存在區(qū)間使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0；故②錯誤
③y=tanx在（-

1

2

π+kπ，

1

2

π+kπ），k∈Z上單調(diào)遞增，但是在定義域內(nèi)不是增函數(shù)；故③錯誤
④y=cos2x+sin(

π

2

-x)=cos²x+cosx=(cosx+

1

2

)2-

1

4

，當(dāng)cosx=-

1

2

時，函數(shù)有最小值，當(dāng)cosx=1時，函數(shù)有最大值，從而可知函數(shù)既有最大值和最小值，又f（-x）=cos²（-x）+cos（-x）=cos²x+cosx=f（x），可得函數(shù)是偶函數(shù)；故④正確
⑤結(jié)合函數(shù)的圖象可知，y=sin|2x+

π

6

|不是周期函數(shù)．故⑤錯誤
故答案為：①②③⑤

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)、常見的結(jié)論，并能靈活應(yīng)用