Question

曲線C：y=2x³-3x²-2x+1，過(guò)點(diǎn)P（，0）的切線方程為2x+y-1=0，且交于曲線A、B兩點(diǎn)．求切線與C圍成的圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：由于切線過(guò)點(diǎn)P，故先設(shè)切點(diǎn)求切線方程，再與曲線C聯(lián)立，可求交點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用定積分求曲線圍成的圖形面積．
解答：解：由y=2x³-3x²-2x+1得：y'=6x²-6x-2．
設(shè)切點(diǎn)為A（x，y），則y=2x³-3x²-2x+1，
于是 切線l為：y-（2x³-3x²-2x+1）=（6x²-6x-2）（x-x）…（3分）
又 切線過(guò)點(diǎn)P（ ，0）
∴0-（2x-3x-2x+1）=（6x-6x-2）（ -x）
化簡(jiǎn)得：x（4x²-6x+3）=0，
解得：x=0，y=1即切點(diǎn)A（0，1）
∴切線l為：2x+y-1=0，
聯(lián)立 ，解得：或 
∴另一交點(diǎn)為B（ ，-2）
∴S=[（1-2x）-（2x³-3x²-2x+1）]dx
═（3x²-2x³）dx═（x³-x⁴）|=．
點(diǎn)評(píng)：本題以曲線為載體，考查曲線的切線方程，考查利用定積分求曲線圍成的圖形面積，解題的關(guān)鍵是區(qū)分在點(diǎn)處與過(guò)點(diǎn)的切線方程的求解．