Question

函數(shù)f（x）=-x³+x²+tx+t在（-1，1）上是增函數(shù)，則t的取值范圍是（　�。�

• A、t＞5
• B、t＜5
• C、t≥5
• D、t≤5

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=-x³+x²+tx+t在（-1，1）上是增函數(shù)，所以會(huì)得到f′（x）在（-1，1）上應(yīng)是f′（x）＞0，函數(shù)在端點(diǎn)處有定義，所以f′（-1）≥0，f（1）≥0，并且f（1）＞f（-1），這樣會(huì)得到三個(gè)關(guān)于t的不等式，解不等式便能求出t的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=-3x²+2x+t，由題意知，要使函數(shù)f（x）=-x³+x²+tx+t在（-1，1）上是增函數(shù)，則t應(yīng)滿足：

f′(1)≥0 f′(-1)≥0 f(1)＞f(-1)

即：

-3+2+ t≥0 -3-2+t≥0 -1+1+t+t＞1+1-t+t

解得t≥5，故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題用到的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是：如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，并且函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)有定義，那么它在閉區(qū)間上也是單調(diào)函數(shù)，并且單調(diào)性和開區(qū)間上一致．