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13.如圖,梯形FDCG,DC∥FG,過(guò)點(diǎn)D,C作DA⊥FG,CB⊥FG,垂足分別為A,B,且DA=AB=2.現(xiàn)將△DAF沿DA,△CBG沿CB翻折,使得點(diǎn)F,G重合,記為E,且點(diǎn)B在面AEC的射影在線段EC上.
(Ⅰ)求證:AE⊥EB;
(Ⅱ)設(shè)AFBG=λ,是否存在λ,使二面角B-AC-E的余弦值為33?若存在,求λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)由已知可得DA⊥面ABE,進(jìn)一步得到平面ABCD⊥平面ABE,再由CB⊥AB,點(diǎn)B在面AEC的射影在線段EC上,可得AE⊥面BCE,又BE?面BCE,得到AE⊥EB;
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),垂直于平面ABCD的直線為x軸,AB所在直線為y軸,AD為z軸,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,由已知AFBG=λ=AEBE,假設(shè)存在λ,使二面角B-AC-E的余弦值為33.分別求出平面AEC與平面BAC的一個(gè)法向量由|cos<mn>|=33得a2=b2,再由AEBE=0,得a2+b(b-2)=0,聯(lián)立求得b值,可得AE=BE.即當(dāng)λ=1時(shí),二面角B-AC-E的余弦值為33

解答 (Ⅰ)證明:由已知,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
∵DA⊥AF,DA⊥AE,AE∩AF=A,
∴DA⊥面ABE,則平面ABCD⊥平面ABE,
又CB⊥AB,∴CB⊥AE.
又點(diǎn)B在面AEC的射影在線段EC上,設(shè)為H,則AE⊥BH,
∴AE⊥面BCE,又BE?面BCE,
∴AE⊥EB;
(Ⅱ)解:以A為原點(diǎn),垂直于平面ABCD的直線為x軸,AB所在直線為y軸,AD為z軸,
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
由已知AFBG=λ=AEBE,假設(shè)存在λ,使二面角B-AC-E的余弦值為33
設(shè)E(a,b,0),則AE=ab0,AC=022
設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量n=xyz
{nAE=ax+by=0nAC=2y+2z=0,解得{x=ayz=y
令y=a,得n=baa是平面EAC的一個(gè)法向量.
又平面BAC的一個(gè)法向量為m=100,
由|cos<mn>|=|mn|m||n||=|b|2a2+2=33,化簡(jiǎn)得a2=b2 ①,
又∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥BE,
AEBE=0,即a2+b(b-2)=0 ②,
聯(lián)立①②,解得b=0(舍),b=1.
AE=a2+2,BE=a2+b22,∴AE=BE.
∴當(dāng)λ=1時(shí),二面角B-AC-E的余弦值為33

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì),考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間直角坐標(biāo)系求解二面角的平面角,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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