Question

已知函數(shù)(其中).

(Ⅰ)若為的極值點,求的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,解不等式；

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，因為為的極值點，所以是的根，所以對求導(dǎo)，解方程求出的值，最后檢驗一次是不是的極值點；第二問，先將不等式進(jìn)行恒等變形，變成，轉(zhuǎn)化為不等式組，而對于來說，式子比較復(fù)雜，不可以直接解不等式，那就構(gòu)造新函數(shù)，通過二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解不等式；第三問，因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，對求導(dǎo)，由于中含參數(shù)，所以對進(jìn)行討論，求出的增區(qū)間，利用與增區(qū)間之間的子集關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ)因為

     2分

因為為的極值點,所以由,解得     3分

檢驗,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,.

所以為的極值點,故.     4分

(Ⅱ) 當(dāng)時,不等式,

整理得,即或 6分

令,,,

當(dāng)時,；當(dāng)時,,

所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,即,

所以在上單調(diào)遞增,而；

故；,

所以原不等式的解集為；     8分

(Ⅲ) 當(dāng)時, 

因為,所以,所以在上是增函數(shù).

當(dāng)時,, 時,是增函數(shù),.

①若,則,由得；

②若,則,由得.

③若,,不合題意,舍去.

綜上可得,實數(shù)的取值范圍是    12分](亦可用參變分離求解).

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；3.恒成立問題.