Question

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x₁＞0,x₂＞0時(shí)，有f(x₁+x₂)＞f(x₁)+f(x₂);

(Ⅲ)求證：ln2²+ln3²+ln4²+…+ln(n+1)²＞(n∈N^*).

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵g′(x)=,又xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立，

∴g′(x)＞0,∴g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù).

(Ⅱ)證明：當(dāng)x₁＞0,x₂＞0時(shí)，有x₁+x₂＞x₁,x₁+x₂＞x₂,

    由（Ⅰ）得g(x₁+x₂)＞g(x₁),g(x₁+x₂)＞g(x₂),

    即：＞,＞.

∴x₁f(x₁+x₂)＞(x₁+x₂)f(x₁),

x₂f(x₁+x₂)＞(x₁+x₂)f(x₂),

∴(x₁+x₂)f(x₁+x₂)＞(x₁+x₂)(f(x₁)+f(x₂)),

∴f(x₁+x₂)＞f(x₁)+f(x₂).

(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明

(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，左==ln⁴,

    右==·，由于ln⁴＞1＞,

∴ln⁴＞·.即原不等式成立.

(ⅱ)假設(shè)n=k時(shí)，命題成立.即：

+++…+＞,

    那么：+++…+＞

2+

=

=·≥.

    這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.

    由(ⅰ)(ⅱ)可知，對(duì)一切n∈N^*,都有

+++…+＞成立.